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●モンティ・ホール問題の納得のいかなさ、というのが面白い。問題自体を把握することはそんなに難しいわけではなく、答えを聞いて、ちょっと考えればなるほどと納得するのだけど(数学的に厳密に考えようとするといろいろ条件を付けたりしないといけないみたいだけど、数学パズル的な次元で理解することはそう難しくはない)、論理的に飲み込めた後にも、もやもやが残る。論理的な納得と、実感的なリアリティとのズレが、なんとも言えない気持ち悪さとして残るのが面白い。
(実感より論理の方が正しいことはシミュレーションによる実証によってはっきり示されている。)
●扉が三つあって、そのうちの一つが景品が隠された「当たり」の扉だとする。回答者が一つの扉を選ぶと、あらかじめ答えを知っている司会者が、残りの二つの扉のうちの「外れ」の扉を一つ開いてみせる。そして回答者に、今から選んだ扉を変更してもよいと言う。この時、回答者は、選んだ扉を変更した方がいいのか、してもしなくても変わらないのか。一見、してもしなくても変わらないように思われるが、答えは、変更した方が「当たり」の確率が高くなるというのだ。
たとえば、扉、1、2、3があって、回答者が1の扉を選んだとする。この時、1の扉が「当たり」である確率は三分の一だ。ここで司会者が3の扉を開いて、それが外れであることを示す。この時に、残った1の扉も2の扉も、どちらも「当たり」の確率が二分の一になるように感じてしまう。しかしそうではないのだ、と。
この時、2の扉が「当たり」である確率は、1の扉が「外れ」である確率と等しくなるので、三分の二になる、ということなのだ。最初の段階では、すべての扉の「当たり」の確率は、どれを選んでも等しく三分の一である。だから、1の扉のが「当たり」である確率は三分の一で、「外れ」である確率は三分の二となり、それはそのまま、2か3のどちらかが「当たり」である確率でもある。その後で、3が「当たり」である可能性は司会者によって否定されるので、2の扉が、三分の二ある「当たり」の確率のすべて引き受けることになる。だからこの場合、最初にどの扉を選んでいようと関係なく、最初に選んだ扉が当たる確率より、選ばなかった方の扉が当たる可能性の方が二倍高くなる。常に乗り換えた方が有利、ということだ。
●この問題の不可解さ(納得できない感)はおそらく、最初に選んだ扉が、その時点でどれを選んだとしても、後になると必ず「当たり」の確率が低い方になってしまうというところにある。それはつまり、回答者が選択した後で「外れ」のうちの一つを開示するという司会者の事後的な行為が、時間を遡行して過去(選択時)の確率の分布に影響を与えてしてしまっている、とのような感覚をもつということではないか。つまり、我々の通常の実感は、因果関係の時間的順序に敏感にできている。
最初の選択より、二回目の選択の方が、司会者による情報開示の後なのだから精度が上がる、というのは分からないでもない。とはいえ、三つのうちの二つが「外れ」なのは最初から分かっているので、司会者の行為は何らあたらしい情報を示していないように思われる。しかしそう思うのは、状況の「図」のみを意識しているからで、司会者の行為は、状況の「地」に関する情報を示している。だから二度目の選択の方が精度が上がる。通常は、図には目がゆくが、なかなか地には目がゆかない。ここがまず第一の不思議さを形作っていると思う。
そこはいいとして、ならば何故、必ず、最初にどれを選んでも、選んだ方の確率が低いことになるのか。しかしこれは、司会者の情報開示が過去の確率分布に影響するのではなく、「情報開示するという行為」によって、選んでいないもう一つの方の確率を事後的に上げている(「二つ合わせて三分の二」の一方の確率が０だと示す)、ということだと考えれば、納得がゆく。ここで納得が訪れるのは、因果関係における時間的順序が回復されたからだろう。
●これとまったく同じ形の問題でも、次のように変形するとさらに「納得いかない感」が増す。
囚人A、B、Cがいて、そのうちの一人が恩赦を受けるという情報が流れた。囚人Aがそれを看守に尋ねると、「恩赦を受けるのはCではない」と答えた。この時、看守に尋ねたAが恩赦を受ける確率が三分の一で、尋ねなかったBの確率が三分の二となる。これではまるで、Aの行った「尋ねる」という行為が、自分の恩赦の可能性を低くしてしまったかのように感じられる。この話からくる「納得いかない感」は、扉とちがって、「わたし」は、選択することも取り替えることができないというところからもくるのだろう。
ここでも、「尋ねる」という行為が恩赦の可能性を低くしてしまったのではなく、看守による「Cではない」という新たな情報によって、予想される状況(状況判断)に変化が生じた、ということだろう。つまり、客観的な何かが変わったのではなく、得られている情報の配置が変わったので、予想(確率)が変化したと考えられるのではないか。
●とはいえ、このような変形は、おそらく適当ではない。扉と景品の確率の問題は、具体的にそのような状況を(同じ状況を繰り返し何度でも)考えることが出きるので、シミュレーションなどによって客観的な検証可能だが、囚人の話は主観的な予測の話であり、選択も変更もできない「わたし」に関する場面であり、つまり一回性のある場面なので、性質が異なるのではないか。
●ウィキペディアによる「モンティ・ホール問題」。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C